Conjunto de los divisores de un número natural
Conjunto de los divisores de un número natural.
Dado un número natural cualquiera, podemos intentar encontrar todos los números naturales que lo dividen exactamente o, lo que es lo mismo, encontrar todos sus divisores.
Una vez encontrados, los podemos escribir ordenadamente de menor a mayor y formar lo que se llama el conjunto de los divisores de un número.
A diferencia del conjunto de los múltiplos que es infinito, el conjunto de los divisores es finito, es decir, tiene fin. No hay ningún número con infinitos divisores.
Para encontrar todos los divisores de un número tenemos varios métodos.
El más sencillo es buscar las parejas de números que multiplicados nos den el número inicial. Lo hacemos ordenadamente empezando por el uno y siguiendo por el dos, el tres,...
Por ejemplo:
Buscar todos los divisores de 15
1 x 15
2 x ?
3 x 5
4 x ?
Hemos encontrado cuatro divisores. Los escribimos ordenadamente de la siguiente forma:
Div(15) = { 1, 3, 5, 15 }
Se lee: los divisores de 15 son el uno, el tres, el cinco y el quince.
Buscar los divisores de 16
1 x 16
2 x 8
3 x ?
4 x 4
Hemos encontrado cinco divisores. Los escribimos ordenadamente:
Div(16) = { 1, 2, 4, 8, 16 }
Leemos: los divisores de 16 son el uno, el dos, el cuatro, el ocho y el dieciséis.
Buscar los divisores de 30
1 x 30
2 x 15
3 x 10
4 x ?
5 x 6
Hemos encontrado ocho divisores. Los escribimos:
Div(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Leemos: los divisores de 30 son el uno, el dos, el tres, el cinco, el seis, el diez, el quince y el treinta.
¿Cuando tenemos la certeza de que hemos acabado de buscar las parejas de factores?
Caso 1.- Cuando la pareja de números es el mismo número. Caso del 16. Llegamos al 4 x 4. Ya hemos acabado.
Caso 2.- Cuando llegamos a dos números consecutivos. Como en el 30. Llegamos a 5 x 6. Ya hemos finalizado.
Caso 3.- Cuando llegamos a una pareja de números que no son consecutivos pero los que van entre esos dos números, no funcionan. Caso del 15. Llegamos al 3 x 5. El único número que hay entre 3 y 5 es el 4. Pero el 4 no funciona...
Lógicamente este método es bueno cuando los números son relativamente bajos. Para números grandes hay otro método que explicaremos más adelante.
De momento puedes practicar y buscar el conjunto de los divisores de los primeros 30 números naturales.
Es muy importante que los escribas con la notación correcta:
Div(7) = { 1, 7}
Y que los leas en voz alta:
Los divisores de 7 son el uno y el siete.
Las Matemáticas son también para decirlas, para contarlas, para cantarlas,...
Máximo Común Divisor de dos números
Al igual que el mínimo común múltiplo, el concepto de Máximo Común Divisor es muy importante en Aritmética.
Llamamos Máximo Común Divisor de dos o más números naturales a otro número natural que es divisor de los dos números (o de todos) y, dentro de los posibles, es el mayor de todos ellos.
El método más sencillo para obtenerlo consiste en averiguar el conjunto de los divisores, compararlos y elegir el común mayor de todos.
Por ejemplo, nos piden que busquemos el Máximo Común Divisor de 30 y de 24
Buscamos por el método aprendido los divisores de 30:
1 x 30
2 x 15
3 x 10
4 x ?
5 x 6
Y hacemos lo mismo con los de 24:
1 x 24
2 x 12
3 x 8
4 x 6
5 x ?
Los escribimos ordenadamente y los comparamos buscando los comunes:
Div(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 }
Div(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
Se escribe:
M.C.D.(30, 24) = 6
Se lee: el Máximo Común Divisor de 30 y 24 es seis
Busca el Máximo Común Divisor de cada una de las parejas de la tabla. Lo escribes en la casilla correspondiente. Cuando hayas acabado pulsa Comprobar. Si lo has hecho bien, saldrá un mensaje de éxito. En caso contrario, lo puedes revisar o borrar completamente.
Máximo Común Divisor y mínimo común múltiplo.
Podemos buscar estos dos números de la misma pareja.
Por ejemplo de la pareja propuesta anteriormente.
Queremos averiguar también su mínimo común múltiplo:
m.c.m. (30, 24) = 120
Observa una importante propiedad del m.c.m. y del M.C.D.
m.c.m. ( a, b ) x M.C.D. ( a, b ) = a x b
El producto de dos números naturales cualesquiera es igual al producto de su Máximo Común Divisor por su mínimo común múltiplo.
En el caso de esta última pareja:
m.c.m. ( 30, 24 ) x M.C.D. ( 30, 24 ) = 30 x 24
120 x 6 = 720
Reglas de divisibilidad por otros números no primos.
Para la actividad propuesta de búsqueda de los divisores de un número, va bien conocer también las reglas de divisibilidad de los primeros números compuestos.
Divisibilidad por 4.
4 = 2 x 2
Un número es divisible por cuatro cuando las dos últimas cifras también lo son.
236 es divisible por cuatro pues 36 también lo es.
122 no es divisible por cuatro pues 22 no lo es.
Divisiblidad por 6
6 = 2 x 3
Un número es divisible por 6 cuando lo es simultáneamente por dos y por tres.
Divisibilidad por 8
8 = 2 x 2 x2
Un número es divisible por 8 cuando los son las tres últimas cifras.
Esta regla es eficaz cuando el número es muy grande, es decir, cuatro cifras o más. En caso de números de tres cifras habrá que hacer la división.
Divisibilidad por 9
9 = 3 x 3
Un número es divisible por 9 cuando la suma de las cifras es múltiplo de 9.
Divisibilidad por 10
10 = 2 x 5
Un número es divisible por 10 cuando acaba en cero.
Las reglas de divisibilidad de los números compuestos se basan todas en las reglas de los primos de los que estos compuestos son divisores, como has podido comprobar.
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