El hotel de los líos

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Un hotel tiene infinitas puertas numeradas así: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... Todas ellas están abiertas. Pero llega alguien y, comenzando desde el principio las cierra ordenadamente de dos en dos, la 2, la 4, la 6, etc. Contento de su hazaña se va a dormir. Pero otro viene después que decide cambiar la posición de las puertas de tres en tres; empieza también por el principio y yendo de tres en tres, la que está abierta la cierra y la que está cerrada la abre. Divertido también por lo que ha hecho se va a dormir. Sin embargo...

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Recurso de busto parlante gracias a Leonor Quintana y José María Campo.

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Proceso para la resolución del problema.

He preparado una rejilla con cien casillas numeradas del 1 al 100 que representan los números de las cien primeras puertas del hotel.
Pulsando con el cursor del ratón, la casilla se colorea. Lo que representa que la puerta se cierra. Si vuelves a pulsar, el número y su celda, vuelven a su aspecto inicial, lo que significa que se abre la puerta.
Con este sistema y CON MUCHA ATENCIÓN puedes intentar reproducir lo que va haciendo cada uno de los bromistas.
De paso, repasas las tablas de multiplicar o... el contar de 17 en 17... o de 23 en 23...
Es fácil equivocarse... Por eso, tal vez, te debas apoyar en los múltiplos inicialmente escritos en un papel... Hay secuencias muy sencillas y otras que no lo son tanto...
Si te equivocas puedes borrar... pero vuelves al principio...
Si finalmente, no te sale, puedes dar al botón de la Solución.

Ahora se trata de que encuentres
1.- Qué tipo de números son los que se han quedado como "puerta abierta". Se les puede definir con una sencilla propiedad.
2.- Si has descubierto la propiedad, serás capaz de averiguar qué puerta queda abierta después de la puerta número 100...
3.- Por qué ha ocurrido esto a esos números y no les ha ocurrido a los demás (la mayoría como has podido comprobar).